实对称矩阵的特征值是对角线上的元素吗

知识点 2021-10-28 11:51:10 2 作者：文/李傲

导读：是。实对称矩阵的特征值之和等于对角线上的元素之和。设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是矩阵A的一个特征值或本征值。

是。实对称矩阵的特征值之和等于对角线上的元素之和。设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是矩阵A的一个特征值或本征值。

实对称矩阵主要性质

实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

若λ0具有k重特征值必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。

线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。

特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。

特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。

线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。

特征值的几何重次是相应特征空间的维数。

有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。